Волшебный двурог

Оглавление

— 96 —

Схолия Седьмая,

где Илюша открывает еще кое-что насчет обычаев и нравов веселого карликового народца, у которого он был в гостях, и, в частности, узнает о том, как можно натянуть нос одному неуклюжему существу, причем натягивание это мнимое, а нос-то получается совершенно вещественный. После этого наш герой пытается играть с зеркалом в «Дразнилку», а затем наши добрые друзья встречаются с тремя недогадливыми испанцами и тремя храбрыми дипсодами, то есть людьми из Страны Жаждущих (которая подробно описана в знаменитой истории Гаргантюа и Пантагрюэля, неутомимых острословов, великанов и мудрецов). И только благодаря этой встрече Илюша узнает, сколько врагов надо уложить, когда на тебя нападают со всех сторон, ибо до сих пор он думал, что сторон в три раза меньше, чем это оказывается на самом деле. Тут же выясняется, почему любители чужого добра вдруг становятся такими кроткими, когда им растолкуют наконец, какие симпатичные треугольнички для них приготовлены в царстве ВОЛШЕБНОГО ДВУРОГА.

Илюша и Радикс продолжали свой путь в самом приятном расположении духа. Однако через несколько времени Илюша задумчиво промолвил:

— Эх! Я забыл спросить у этого человечка еще одну штуку.

— Что именно? — вопросил Радикс.

— 97 —

— Я никак не пойму: какое отношение эти комплексные человечки могут иметь к такой задаче, в которой есть только вещественные, да еще притом целые числа?

Тут Илюше показалось, что на него кто-то смотрит сзади.

Он обернулся и к своему неописуемому удовольствию увидел, что невдалеке позади, под синей стеной, в креслице сидит Мнимий Радиксович собственной персоной.

— Могу, — сказал любезный человечек, — вам рассказать о некоторых наших хитроумных проделках. Это вам кое-что пояснит. Вы, конечно, помните, что разность двух квадратов распадается на два множителя — на сумму и разность первых степеней.

— Ну еще бы, — отвечал Илюша.

— А мы, — продолжал словоохотливый человечек, — умеем делать то, чего вещественные числа делать не умеют: мы можем разложить на множители сумму квадратов. Это очень просто. Смотрите.

И на стене около кресла сейчас же появилось следующее:

x + у = (х + iy) (x — iy).

— Буква i, как всегда, обозначает √-1. Перемножьте, и вы убедитесь, что это равенство справедливо. Кстати сказать, формулы для пифагоровых троек я мог бы получить тоже не без помощи этого выражения, а именно вот как. Если нам нужно, чтобы

х + у = z,

то положим, что оба множителя, то есть (x + iy), а также (х- iy), суть квадраты каких-то чисел, разумеется тоже комплексных, так что, например:

x + iy=(p + iq) = p — q + 2pqi.

Теперь я сравниваю левую часть с правой и заключаю, что

х = p — q; y = 2pq,

откуда уже сразу следует, что

z = р + q.

Это, правда, не совсем строго, хотя бы потому, что из a · b = z не следует, что а и b непременно квадраты, но формулы получаются как раз те, какие нам нужны. Обратите, кстати, вни-

— 98 —

мание еще на то, что одно равенство комплексных чисел заменяет собой два равенства обычных чисел. Это тоже ведь преимущество немалое! Теперь позвольте вам указать еще и на то, что если мы возьмем не разность квадратов, а разность кубов (а ведь куб-то как раз и является первой из тех степеней, о которых идет речь в Большой теореме Ферма!), то вещественные числа умеют разлагать эту разность только на два множителя, то есть на разность первой степени и неполный квадрат суммы. Не так ли?

Илюша утвердительно кивнул. И тотчас на стене появилось:

(х — 1) = (x — 1) (х + х + 1).

— Ну, а мы можем разложить вам эту разность не на два, а на три множителя, и получится вот что…

— Вы легко можете убедиться в справедливости этого равенства, либо просто перемножив эти три скобки, либо решив квадратное уравнение, которое представляет собой ваш неполный квадрат суммы.

х + х + 1 = 0.

— Ну вот, — продолжал Мнимий, — отсюда вы легко можете видеть, что мы вполне можем иметь прямое отношение к задачам, в которых есть только вещественные числа. С этим несложным, но очень полезным разложением мы еще встретимся в дальнейшем, когда займемся вопросами довольно хитрыми (но при этом замечательно интересными) через каких-нибудь двенадцать Схолий. Причем мы способны делать то, о чем вещественные числа и понятия не имеют. А так как наша арифметика очень похожа на арифметику вещественных чисел, то вы можете прийти к нам, а потом вернуться к вещественным числам, и никаких недоразумений у вас не получится. А мы будем вам с удовольствием помогать теми своими способностями, которых у вещественных чисел нет. Мало того, мы еще вам что-нибудь подарим на память, чего вы даже у нас не просили. Вот, например, разложим разность кубов на три множителя, а если вы внимательно присмотритесь к этому разложению, то увидите, что наше решение имеет непосредственное отношение к геометрической задаче о том, как вписать в окружность равносторонний треугольник. И это потому, что мы друзья с синусами и косинусами, а коэффициенты, ко-